Муодилаи
$$(2x^2+3)^2-12(2x^2+3)+11=0 \qquad (1)$$
-ро бо ёрии ҷорӣ кардани тағйирёбандаи нав ҳал менамоем.
\(2x^2 + 3\)-ро бо y ишорат менамоем:
$$2x^2 + 3 = y.$$
Он гоҳ муодилаи (1) ба муодилаи квадратии дорои тағйирёбандаи y оварда мешавад:
$$y^2 - 12y + 11 = 0. \qquad (2)$$
Муодилаи (2)-ро бо методи дискриминант ҳал мекунем.
Намуди умумии муодилаи квадратӣ:
$$ay^2+by+c=0.$$
Барои муодилаи (2): \(a=1, b=-12, c=11.\)
Дискриминантро меёбем:
$$D=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot1\cdot11=144-44=100 > 0.$$
Азбаски D>0, пас муодилаи додашуда ду решаи ҳақиқӣ дорад, ки аз рӯи формулаи зерин ҳисоб мешаванд:
$$y_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-12) \pm \sqrt{100}}{2\cdot 1} = \frac{12 \pm 10}{2}= \frac{2(6 \pm 5)}{2} = 6 \pm 5.$$
Яъне,
\(y_1=6-5=1.\)
\(y_2=6+5=11.\)
Аз ин ҷо
\(2x^2+3=1\)
ё
\(2x^2+3=11.\)
Муодилаи \(2x^2+3-1=0\)-ро ҳал мекунем.
\(2x^2+3-1=0\)
\(2x^2+2=0\)
\(2x^2=-2\)
\(x^2=-1\)
Азбаски квадрати ягон адади ҳақиқӣ аз 0 хурд нест, пас муодилаи \(x^2=-1\) ҳалли ҳақиқӣ надорад.
Муодилаи \(2x^2+3-11=0\)-ро ҳал мекунем.
\(2x^2+3-11=0\)
\(2x^2-8=0\)
\(2x^2=8\)
\(x^2=4\)
\(x=\pm\sqrt{4}\)
\(x_{1,2}=\pm 2.\)
Пас, муодилаи (1) ду реша дорад, яъне
$$x_1=-2,x_2=2.$$
Санҷиш.
\(\begin{multline}1.\quad(2\cdot(-2)^2+3)^2-12(2\cdot(-2)^2+3)+11=(2\cdot4+3)^2-12(2\cdot4+3)+11=\\=11^2-12\cdot11+11=121-132+11=-11+11=0.\end{multline}\)
\(\begin{multline}2.\quad(2\cdot2^2+3)^2-12(2\cdot2^2+3)+11=(2\cdot4+3)^2-12(2\cdot4+3)+11=\\=11^2-12\cdot11+11=121-132+11=-11+11=0.\end{multline}\)